九年级数学 · 跨学科主题学习

徽州八角亭中的
正八边形与白银数

从 1:21:\sqrt{2} 到 1+21+\sqrt{2}

依托歙县竹山书院凌云阁实景，完成数学证明、参数化建模、文创设计与成果发布。

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歙县竹山书院凌云阁外景
歙县竹山书院凌云阁

课时与任务

2 节数学课加一个项目周，项目周末尾的成果发布会计为第 3 课时。每个课时附本课时使用的工具。

第 1 课时
识亭观比 · 方中出八
  • 在凌云阁测绘平面图上测量对边距离与边长，提出比值猜想
  • 拖动软件里的正八边形验证比值不变，并在平面图与照片上标定
  • 用正方形截角证明对边距离与边长之比为 1+21+\sqrt{2}
  • 从窗棂的套方锦与八角景中读出白银比

本课时工具

平面图、三角板、计算器（课堂操作）

动中看比（G2-1）拖动正八边形，比值保持 2.414 照片标定平面图与照片上量对边距离与边长 方中出八课后回看：正方形截角的动态演示
第 2 课时
剪花识形 · 对角藏数
  • 用八折法剪一件八角团花，指认其中一处比例
  • 证明短对角线互相分成 1:(1+2)1:(1+\sqrt{2})
  • 认识白银数的代数性质，与教材的黄金数对照
  • 核对五处“八角”，领取项目周任务

本课时工具

正方形红纸、剪刀、三角板（八折剪团花）

SVG 文创设计课后预览：项目周要用的模板与快速创作
项目周
用比设计
  • 第 2 天课后向美术教师咨询版式、构图与纹样（团花已在第 2 课时剪好）
  • 文创组制作作品，每件至少标注两处比例关系
  • 建模组调整八角亭参数化模型，记录三组数据
  • 补量“还不知道”的对象；语文面批三百字短记

本周工具

SVG 文创设计文创组：28 件模板与快速创作向导 八角亭参数化建模器建模组：改 a、k、m 生成模型 照片标定补量：标定历史影像与正摄照片 作品提交上传作品图片、模型文件与短记
第 3 课时
成果发布会
  • 各组汇报作品与短记，按自评互评表逐项打分（满分 40 分）
  • 有理有据地回答“为什么选八”

汇报材料

作品图片（SVG 文创设计与建模器均可导出 PNG）、短记定稿、证据卡

作品提交汇报材料与自评互评表

在线工具箱

三个工具均在浏览器中运行，电脑与平板通用，无需安装。

八角亭参数化建模器

项目周 · 建模组

在 OpenSCAD 中修改边长 a、内外圈位似比 k、柱高与边长之比 m，生成八角亭三维模型；可导出 PNG 图片与 STL 模型文件。

启动八角亭参数化建模器

SVG 文创设计

项目周 · 文创组

28 件文创模板，含书签、徽章、邮票、明信片、笔记本封面、板报、导览图与纸模型展开图；另有快速创作向导，按规范 A、B、C 算好尺寸后生成可继续编辑的作品。在线修改后下载 SVG 或导出 PNG，作品自动保存在本机浏览器中。

书签 徽章 明信片 邮票 纸模型展开图 快速创作
开始 SVG 文创设计

数学要点速查

白银比与白银数是两个不同的量。作品中的每处比例须注明属于哪一个。

白银比
1:21:\sqrt{2}
含义
等腰直角三角形直角边与斜边之比
实例
A 类纸的宽与长，对折后形状不变
白银数 δ
1+2≈2.4141+\sqrt{2}\approx 2.414
含义
正八边形对边距离与边长之比
公式
d=(1+2)ad=(1+\sqrt{2})a，与大小无关
位似比
k≈0.55k\approx 0.55
含义
凌云阁内外柱圈的实测位似比
面积比
k2≈0.30k^2\approx 0.30